표준편차

숫자 묶음을 한 줄로 줄여 보고하던 관행은 평균에서 멈춰 있었습니다. 페이지덱의 고객 지원 응답 시간도 지난달 평균 32분이라는 한 줄로 보고됐고, 목표인 60분 안에 넉넉히 들어 있었습니다.

그런데 같은 달에 응답이 늦다는 불만이 늘었습니다. 문의 기록을 열어 보니 절반은 10분 안에 답이 갔고 나머지 중 몇 건은 두 시간을 넘겼습니다. 평균 32분은 그 두 무리를 섞어 만든 값이라 어느 쪽도 설명하지 않았습니다. 실제로 32분쯤에 답을 받은 고객은 거의 없었습니다.

모든 문의가 28분에서 36분 사이에 처리되는 달과, 10분과 두 시간이 섞여 평균만 같은 달은 평균 한 줄로 구분할 수 없습니다. 앞쪽은 한 시간 안에 답이 간다고 약속할 수 있고 뒤쪽은 그럴 수 없는데, 보고서에는 같은 32분이 적힙니다.

그래서 흩어진 정도를 별도의 숫자로 요약하기 시작했습니다. 먼저 나온 것은 분산이었는데, 계산 도중에 값을 제곱하는 탓에 단위가 분이 아니라 제곱분이 되어 그대로는 읽히지 않았습니다. 표준편차는 그 분산에 제곱근을 씌워 단위를 분으로 되돌린 값입니다. 평균과 같은 단위라서 나란히 놓고 읽을 수 있습니다.

평균에서 각 값이 떨어진 거리를 제곱해 평균 낸 뒤, 마지막에 제곱근을 씌웁니다. 네 단계입니다.

1. 평균을 구합니다. 응답 시간 다섯 건이 30, 34, 32, 28, 36분이면 합이 160이므로 평균은 32분입니다.
2. 각 값에서 평균을 빼 제곱합니다. 편차는 순서대로 -2, 2, 0, -4, 4이고 제곱하면 4, 4, 0, 16, 16입니다. 제곱하는 이유는 위로 벗어난 값과 아래로 벗어난 값이 그냥 더하면 상쇄되어 0이 되기 때문입니다.
3. 제곱값의 평균을 냅니다. 합이 40이고 다섯 건이므로 8입니다. 이 값이 분산입니다.
4. 제곱근을 씌웁니다. 8의 제곱근은 약 2.8이므로 표준편차는 2.8분입니다.

같은 평균의 다른 달을 같은 방식으로 재 보면 차이가 드러납니다. 10, 55, 32, 20, 43분도 합이 160이라 평균은 똑같이 32분인데, 편차 제곱의 합이 1,278이 되어 표준편차는 16분입니다.

전체를 다 잰 것이 아니라 표본만 잰 값이라면 3번에서 개수 대신 개수에서 1을 뺀 값으로 나눕니다. 표본만 보면 흩어짐이 실제보다 작게 잡히는 경향을 보정하는 처리입니다. 계산은 도구가 해 주니 실무에서 하는 일은 나온 값을 평균과 짝지어 읽는 쪽입니다.

작을수록 좋다고 말할 수 있는 절대 기준은 없고, 평균과 견줘 비율로 봅니다. 평균 32분에 표준편차 2.8분이면 평균의 9퍼센트이고, 같은 평균에 16분이면 50퍼센트입니다. 앞쪽은 약속에 쓸 수 있는 숫자이고 뒤쪽은 참고용입니다.

쓸 수 있는지 판정하는 방법은 평균에 표준편차를 더하고 뺀 구간을 말로 옮겨 보는 것입니다. 앞의 달은 29분에서 35분 사이라 한 시간 안에 답한다는 약속이 성립하고, 뒤의 달은 16분에서 48분 사이인데 실제로는 두 시간짜리도 섞여 있습니다. 구간을 문장으로 만들었을 때 어색하면 그 데이터에는 표준편차를 쓰기 어렵다는 신호입니다.

값이 한쪽으로 치우친 데이터가 그 경우입니다. 응답 시간이나 결제 금액처럼 아래쪽에 몰려 있고 위로 길게 꼬리가 붙는 데이터에서는 표준편차가 실제 경험을 왜곡합니다. 평균 32분에 표준편차 16분이라는 두 숫자로는 두 시간을 기다린 고객이 몇 명인지 알 수 없습니다. 이런 데이터에서는 중앙값과 백분위수를 함께 봅니다.

이상치 한 건에 크게 흔들리는 성질도 알고 있어야 합니다. 편차를 제곱하기 때문에 멀리 떨어진 값 하나가 다른 값 열 개보다 크게 반영됩니다. 다섯 건 중 한 건이 32분이 아니라 5시간이었다면 표준편차는 2.8분이 아니라 두 시간대로 뛰어오릅니다. 그래서 값이 갑자기 커졌을 때는 흩어짐이 나빠졌다고 결론 내리기 전에 한 건 때문인지 전체가 벌어진 것인지를 먼저 확인합니다.

"두 팀 평균이 같은데 표준편차는 세 배예요. 같은 기준으로 보면 안 됩니다."

평균 한 줄로는 두 팀이 같아 보이지만 한쪽은 예측이 서고 다른 쪽은 서지 않는다는 지적입니다.

"평균 40분에 표준편차 5분이니까 일정은 45분으로 잡읍시다."

평균에 표준편차를 더한 값을 약속치로 쓰겠다는 뜻으로, 편차가 작아 그렇게 잡아도 대체로 지켜진다는 판단입니다.

"표준편차가 이렇게 크면 평균으로 약속하면 안 됩니다. 95백분위수로 쓰죠."

흩어짐이 커서 평균이 대표성을 잃었으니 나쁜 쪽 경험을 기준으로 삼자는 제안입니다.

페이지덱에서 이 값은 배포 리드타임을 볼 때 자리를 잡았습니다. 태오가 코드 병합에서 운영 배포까지 걸린 시간을 주마다 재는데, 평균만 보던 동안에는 4시간이라는 값이 반년 내리 비슷했습니다. 표준편차를 함께 붙여 보니 어떤 주는 1시간이고 어떤 주는 9시간이었습니다. 큰 주를 들여다보면 금요일 오후에 밀린 배포가 월요일로 넘어간 건이 섞여 있었고, 그 한 건이 주 전체의 값을 끌어올린 것이었습니다. 지현은 그 뒤로 배포 지표에 평균과 표준편차를 함께 적게 했습니다.

표준편차가 작으면 좋은 상태라고 읽는 오해가 가장 흔합니다. 흔들림이 적은 것이 대체로 좋으니 그렇게 굳기 쉽습니다. 그런데 이 값은 어디에 몰려 있는지를 알려 주지 않습니다. 응답 시간이 모두 세 시간 근처에 몰려 있는 팀도 표준편차는 작습니다. 고르게 나쁜 상태입니다. 그래서 평균과 짝지어 읽어야 하고, 둘 중 하나만 적힌 보고서는 절반만 말한 것입니다.

평균에서 표준편차 두 개 범위 안에 95퍼센트가 들어 있다고 외워 쓰는 경우도 자주 봅니다. 통계 수업에서 그렇게 배웠으니 자연스러운 적용입니다. 다만 그 비율은 값들이 종 모양으로 고르게 퍼져 있을 때만 맞습니다. 응답 시간처럼 아래쪽에 몰리고 위로 꼬리가 긴 데이터에서는 평균에서 표준편차 두 개를 뺀 값이 음수로 나오기도 합니다. 이 규칙을 그대로 적용해 상한을 계산하면 실제보다 낙관적인 약속을 하게 됩니다.